गणिताला पर्याय नकोच, ते विषय म्हणून अनिवार्यच असायला हवे!

प्राथमिक, माध्यमिक शालेतील अनेक विद्यार्थ्यांना गणित विषय अवघड वाटतो. त्यामुळे हे विद्यार्थी या विषयात दहावीत नापास होतात. ही गळती रोखण्यासाठी दहावीला गणित हा विषय ऐच्छिक ठेवण्याबाबत उच्च न्यायालयाने नुकतीच राज्य सरकारकडे विचारणा केली. त्यावर शिक्षणक्षेत्रातील विविध तज्ज्ञ आपली मते मांडत आहेत. गणिताची महिती सांगणारा हा पुनर्मुद्रित लेख या विषयाची अनिवार्यता पटवून देतो. डॉ. वसंत शंकर हुजुरबाझार हे पुणे विद्यापीठाच्या गणित व संख्याशास्त्र विभागाचे माजी प्रमुख आहेत. त्यांनी ऐंशीच्या दशकात म्हैसुर विद्यापीठात दिलेली तीन व्याख्याने ‘What is Mathematics’ या नावाने प्रकाशित झाली आहेत. त्यांचा ‘गणित म्हणजे काय?’ या नावाने मराठी अनुवाद प्रा. टी. एस. तुपे यांनी केला आहे. या पुस्तकातील दोन व्याख्यांनामधून प्रस्तुत मजकूर संपादित केला आहे.

.............................................................................................................................................

१.

“कोणत्याही सत्याबद्दलची सर्वांत स्पष्ट नि सुंदर विधाने अखेर गणिती रूपातच असावी लागतात.” – थोरो

‘सत्य म्हणजे काय?’ असे पिलेटने येशू ख्रिस्ताला विचारले. उत्तरासाठी मात्र तो थांबला नाही. कदाचित तत्त्वज्ञानाच्या क्षेत्रातील सर्वांत अधिक गूढ प्रश्न दोनच! सत्य म्हणजे काय? आणि मानव ते कसे संपादन करतो? या प्रश्नांची अंतिम उत्तरे आपणास माहीत नसली तरी गणिताने मात्र या बाबतीत सिंहाचा वाटा उचलला आहे. गेल्या दोन हजार वर्षांच्या काळात मानवाने शोधून काढलेल्या सत्यामध्ये गणिती सत्य हे एक प्रमुख उदाहरण आहे.

म्हणूनच सत्य संपादनाच्या समस्येचे सर्व शोध अपरिहार्यपणे गणितावर अवलंबून असत. इतर सर्व शास्त्रामध्ये गणिताला विशेष गौरवास्पद स्थान प्राप्त व्हावयाला एक महत्त्वाचे कारण आहे. ते म्हणजे त्यातील विधाने बव्हंशी निर्वेधपणे निश्चित स्वरूपाची व निर्विवाद म्हणून स्वीकारली जात. त्या उलट इतर शास्त्रातील विधाने काही मर्यादेपर्यंत विवाद्य असतात आणि ती नवीन गोष्टीच्या संशोधनाने धुडकावून लावली जाण्याचा कायमचा धोका असतो.

अगदी सामान्यातला सामान्य माणूसदेखील गणिताबद्दल मनात आदर व वचक बाळगून असतो. कारण गणितशास्त्र सत्याशीच संबंधित असते अशी त्यांची आंतरिक धारणा असते. तसेच तो हेही निश्चितपणे मान करतो की, गणित हे सुसंगतीचे एकमेव उदाहरण आहे. कारण सत्य हे सुसंगत असते. गणिताच्या दिगंत कीर्तीला दुसरे एक कारण असे की, जी थोडी बहुत सुसंगती व निश्चित स्थैर्य इतर शास्त्रांना गणितानेच मिळवून दिले आहे. ते अन्यथा मिळाले नसते.

शास्त्रासह अनेक गोष्टींवर जॉर्ज बर्नार्ड शॉ नेही आपले तीक्ष्ण टीकास्र चालवले. पण त्यालादेखील गणिताबद्दल नितांत आदर होता आणि तो आपल्या गणिताच्या अपुऱ्या ज्ञानाबद्दल खेद व्यक्त करत असे आणि गणिताबद्दल गोडी निर्माण करण्यास असमर्थ असणाऱ्या गुरुजनांना दोष देत असे. ‘१+१=२’, ‘त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज दोन काटकोन असते’ अशा प्रकारच्या गणिती विधानावरूनच गणित हे चिरंतन आणि वैश्विक सत्यावर आधारलेले आहे, अशी सर्वसामान्यांची समजूत असते.

तथापि, एकोणिसाव्या शतकातील काही आश्चर्यकारक संशोधनांनी आपला गणिताच्या स्वरूपाविषयीचा समज पूर्णपणे बदलून टाकला आहे. गणिताची प्रत्येक शाखा काही गृहीतकांच्या समुच्चयांनी सुरू होते, हे सर्वश्रुत आहे. गृहीत स्वयंसिद्ध सत्ये असतात. या गृहीत तत्त्वापासून तार्किक युक्तिवादाने काही अनुमाने काढली जातात. या अनुमानांनाच आपण प्रमेये असे म्हणतो.

हा तार्किक युक्तिवाद म्हणजे तरी काय? निगमन तर्कपद्धतीमध्ये मूलभूत असे तीन नियम आहेत. त्यांना ‘विचाराचे तीन नियम’ असेही म्हणतात. ते सुमारे दोन हजार वर्षांपूर्वी अॅरिस्टॉटल या तत्त्ववेत्याने सूत्रबद्ध केले. तार्किक विधानांच्या संदर्भात हे तीन नियम पुढील प्रमाणे आहेत-

१) विधान हे जे असते ते असते (तादात्म्याचा नियम)

२) विधान सत्य तरी असते किंवा असत्य तरी असते (वर्जित मध्यमाचा नियम)

३) एकच विधान सत्य व असत्य असे दोन्हीही असू शकत नाही (व्याघाताचा नियम)

तर्कशुद्ध युक्तिवाद करण्यासाठी तर्कशास्त्राचे हे नियम अत्यावश्यक आहेत. हे नियम तर्कदुष्ट विचार पद्धती टाळून केवळ तर्कोचित विचार पद्धतीसाठी अपरिहार्य आहेत. हे नियम गृहीतकांत लावले म्हणजे त्यातून प्रमेये निघतात. आणि केवळ थोड्याशा गृहीतकापासून शेकडो प्रमेये कशी निघतात, हे पाहणे अतिशय मनोरंजक आहे. जर गृहीतके स्वयंसिद्ध सत्य असतील तर त्यापासून तर्कशास्त्राच्या नियमांनी निगमनाने काढलेली प्रमेयेदेखील सत्यच असतात.

शुद्ध गणिती सत्य हे कोणीही खोडून काढू शकणार नाही इतके निश्चित असते. याला कारण एकच की, त्यातील आशयात वास्तविक व अनुभवजन्य प्रायोगिक गोष्टी सामावलेल्या नसतात. आइनस्टाईन याबाबत म्हणतो –“गणिती विधाने जोपर्यंत वस्तुस्थितीला धरून असतात, तोपर्यंत ती पूर्ण खात्रीलायक नसतात. आणि जोपर्यंत ती ठामप्रमाणे निश्चित स्वरूपात असतात, तितकी ती वस्तुस्थितीला धरून नसतात.”

२. 

गणित जी मूल्ये प्रदान करते त्यापैकी एक अत्यंत महत्त्वाचे मूल्य म्हणजे कलेची सेवा हे होय.

कला गणितापासून पूर्ण वेगळ्या असतात असे समजण्याचा बऱ्याच लोकांचा कल असतो, पण तो खरा नाही. गणितानेच चित्रकला, शिल्पकला व साहित्य यांना प्रमुख आकार दिला आहे. तसेच गणिताने संगीताची जी सेवा केली आहे, त्यामुळेच ते मानवाला कळू शकले. इतकेच नव्हे तर जगाच्या प्रत्येक कानाकोपऱ्यापर्यंत त्याचा आनंद पसरवण्याचे कार्यही गणितानेच फार मोठ्या प्रमाणात केले आहे.

व्यावहारिक, शास्त्रीय, तात्त्विक व कलात्मक समस्याच गणितातील अनेक शोधांना कारणीभूत झाल्या आहेत. पण त्यांच्या इतकाच तुल्यबळ असा दुसराही गणिताचा उद्देश आहे. तो म्हणजे सौंदर्याचा शोध हा होय. गणित ही एक कला आहे. आणि कला या नात्याने इतर कलाप्रमाणेच ते आनंदही प्रदान करते. ज्यांना खऱ्या कलांच्या रूढ कल्पनांची सवय जडली आहे आणि त्यामुळे जे गणितात आणि इतर कलांत विरोध असल्याचे मानतात, अशा लोकांना वरील विधान धक्का देणारे आहे. आणि त्यांचा हा दृष्टिकोन गणिताला अत्यंत हानीकारक आहे.

कला म्हणजे खरे काय व त्यापासून आपणास काय मिळते, याचा सामान्य माणसाने सखोल विचार केलेला नसतो. रंगकलेमध्ये बऱ्याचशा व्यक्ती त्यातील परिचित देखावे आणि कदाचित काही भडक रंग एवढेच पाहतात. परंतु रंगकामाला कलेचे स्वरूप ज्या गुणधर्मांनी येते ते गुणधर्म हे नव्हेत. तेव्हा त्यातील खऱ्या मूल्यांचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे आणि कलेचे खरे मूल्य जाणून घेण्याची पात्रता येण्यास त्यांच्या सखोल अभ्यासाची गरज आहे.

गणिताच्या बाबतीतही तसेच आहे. गणित हा विषय अशा काही संकल्पना, रचना आणि सिद्धतेच्या पद्धतींचा विचार करतो की, ज्यांच्यामध्ये अत्यंत सूक्ष्म आणि बहुधा अत्यंत मनोहर कल्पनांचा समावेश होतो. आणि त्यातील निष्कर्ष साद घालणाऱ्यांना अतिशय समाधान देणारे आणि संतुष्ट करून सोडणारे असतात. गणिताचे हे मूल्य बर्ट्रांड रसेल विस्ताराने पुढीलप्रमाणे सांगतो – “गणिताकडे सम्यक दृष्टीने पाहिले तर असे दिसेल की, त्यात केवळ सत्यच नसते तर उच्चतम कोटीचे सौंदर्यही त्यात असते. एखाद्या शिल्पातील सौंदर्याप्रमाणे शीतल व पवित्र सौंदर्य! हे सौंदर्य आपल्या स्वभावातील दुर्बलतेला आवाहन करणारे नसते! त्याचप्रमाणे रंगकला व संगीताप्रमाणे मनाला अडकवून ठेवणारे झगझगीत जाळेही त्यात नसते! पण कलेची उच्चतम पूर्णता येण्याची पात्रता त्यात असते. निखळ आनंदोर्मी, प्रेरक आणि दैवी जाणीव या उच्चगुणसंपदेचे निकष जसे काव्यात आढळतात, तसेच ते गणितातही पूर्णत्वाने आढळतात!”

गणित विषयाला मोठ्या प्रमाणात साह्यभूत झालेले काही प्रबंध, युक्लिडच्या भूमितीचे काही भाग, प्रक्षेपक भूमिती आणि संख्याबाबतचे सिद्धान्त हे मानवाच्या सौंदर्यदृष्टीची पूर्ती होण्यासाठी निर्माण व विकसित झालेले होते.

गणित हीदेखील एक भाषाच आहे, हे बहुतेकांना सर्वसामान्यपणे कळतच नाही. आपल्या मातृभाषेतील बरेचसे लिहिले गेलेले व बोलण्यात येणारे शब्द गुणात्मक आहेत. आपल्या नित्याच्या बोलण्यात आणि लिहिण्यात आलेली गुणात्मक भाषा बऱ्याच वेळा आपल्या कल्पना अभिव्यक्त करण्यास पूर्णपणे समर्थ नसते. त्यासाठी इतरही काही भाषा असतात. संगीत काही विशिष्ट प्रकारच्या भावना आणि विचार प्रभावीपणे व्यक्त करणारी भाषा म्हणून उपयोगी पडते. कल्पना आणि श्रद्धा यांचे वहन करण्यासाठी चित्रकला, शिल्पकला व वास्तुकला या सर्व उपयुक्त आहेत, तशीच गणित हीदेखील एक भाषा आहे.

ती आपले परिमाणात्मक अनुभव व्यक्त करण्यासाठी आवश्यक आहे. जसजसे आपण गणिती भाषेचा अभ्यास करू लागतो, तसतसा तिचा अधिक व्यापक उपयोग असल्याचे आपणाला जाणवते. ती परिमाणात्मक भाषा आहे, हे तर खरेच, शिवाय ती आकार व क्रमदर्शकदेखील आहे. तसेच ती एक तार्किक संबंध शोधणारी व व्यक्त करणारी भाषा आहे.

अस्तित्वात असलेल्या सर्व भाषांमध्ये गणित ही एक सर्वाधिक परिपूर्ण भाषा आहे. निसर्ग जणू तिच्याद्वारेच बोलतो आणि तिच्याद्वारेच जगाचा निर्माता जणू बोलला आणि जगाचा पालनकर्तादेखील जणू निरंतर तिच्याद्वारेच बोलत असतो.

गणिताला सर्व भाषांची भाषा असेही म्हणता येईल. कोणत्याही मातृभाषेपेक्षा ती उच्च आहे. ती एक आंतरराष्ट्रीय भाषा आहे. गणितातील कल्पनांच्या वहनासाठी राष्ट्राराष्ट्रामधील सीमा केव्हाही बंधने आणू शकत नाहीत.

एच. जी. वेल्स म्हणतो – “सामान्य भाषेपेक्षा अधिक अचूक, संक्षिप्त व तयार असलेली अशी आकार, परिमाणे याबद्दलचे विचार व्यक्त करण्याची व त्याच्या अभिव्यक्तीचे साधन असणारी अशी पुरवणी भाषा म्हणून नवगणिताकडे पाहता येईल. भौतिक शास्त्रांच्या सर्व समृद्ध रचना, अर्थशास्त्रांतील सर्व सत्ये व अमर्याद अशा सामाजिक व राजकीय समस्या या गणिती पृथ:करणाने सखोल प्रशिक्षण झालेल्या माणसाच्याच विचार करण्याच्या कक्षेत येतात, इतकेच नव्हे तर त्या फक्त त्यांच्याच आवाक्यातील असतात.”

आज जशी मानवाला सूज्ञ नागरिक होण्यासाठी लिहिता-वाचता येण्याची पात्रता आवश्यक आहे, तसेच असा काळ आता दूर राहिला नाही की, ज्यावेळी लवकरच विकसित होऊ पाहणाऱ्या जागतिक प्रांतरचनेच्या नागरिकत्वासाठी गणना, सरासरी कमाल व किमान या संकल्पनांमध्ये बोलता येण्यास समर्थ असणे आवश्यक असेल.

गणितामध्ये परिचित असलेला तार्किक रचनांचा आकृतिबंध वैज्ञानिक सिद्धान्तांना सूत्रबद्ध करण्यामध्ये अत्यंत महत्त्वाचा मार्गदर्शक ठरला आहे. ज्यावेळी आपण एखादी शास्त्र शाखा गणिती झाली असे म्हणतो, त्यावेळी त्याचा अर्थ असा की, विज्ञानाच्या त्या शाखेकरिता गणिती आकृतिबंध शोधला गेला आहे. म्हणजेच मूलभूत नियमांचा असा एक संच सूत्रबद्ध केला गेला आहे की, मूलभूत नियमांपासून काढलेले तार्किक निष्कर्ष निरीक्षणाशी जुळतात. गणितातील गृहीत प्रणालीशी जुळणाऱ्या या तार्किक निगमनांना भाकिते असे म्हणतात. म्हणून जेव्हा एखादी विज्ञानशाखा गणिती स्वरूपात परिणत होते, तेव्हा केवळ गणिती  निगमनाने त्यातील भविष्यकालीन घटनांचे निदान करणे आपल्याला शक्य होते. तसेच विज्ञानाच्या त्या शाखेला गणिती निश्चितता प्राप्त होते. याच कारणाने एखाद्या विज्ञान शाखेची प्रगती अगर परिपक्वता त्यातील किती मूलभूत संबंध गणिती स्वरूपात व्यक्त केले गेले आहेत, हे लक्षात ठेवून ठरवली जाते. याबाबतीत खगोलशास्त्र, पदार्थ विज्ञानशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र व सामाजिक शास्त्रे असे यांचे अचूकतेचे उतरते क्रम लेखकांनी लावले आहेत.

३. 

जो पक्ष आपली बाजू व आपले निष्कर्ष अतिशय तर्कशुद्ध व पूर्णतेने मांडण्यास समर्थ ठरतो, तसेच विरुद्ध बाजूच्या मतांचे जोरदारपणे खंडन करू शकतो, तो पक्ष वाद जिंकण्यास पात्र ठरतो.

तार्किक वादविवाद बहुधा सामान्य माणसांचे लक्ष क्वचितच वेधू शकतो. पण प्रत्येकाचा आपला स्वत:चा दृष्टिकोन व आपली विविध मते वर्तमानपत्राचे संपादन करून, मासिकात लेख लिहून, पुस्तके लिहून, रेडिओवर भाषण करून, त्यातून व्यक्त होत असतात. आणखी असे की, प्रत्येक व्यक्तीला बहुधा स्वत:साठी स्वत:चेच युक्तिवाद तयार करून स्वत:चे समाधान करावेसे वाटते किंवा इतरांना आपल्या योजनेनुसार कार्यप्रवण करण्यासाठी अगर आपणास पाहिजे ते मत इतरांनी स्वीकारावे यासाठीदेखील हे करावे लागते.

ज्या व्यक्तीला अमूर्त तर्कपद्धती अवगत आहे, अशा व्यक्तीला तर्कदृष्ट्या उचित व अनुचित भूमिका ओळखता येते व स्वत:साठी तर्कशुद्ध व्यवस्था करता येते. तसेच आपल्याला पटणाऱ्या भूमिकांच्या विरुद्ध भूमिका तार्किक पद्धतीने निष्कर्ष रूपाने निघण्याचीही शक्यता आहे, अशी त्याला जाणीव असेल तर त्याला मनमोकळेपणा व सहनशीलता या दोन्ही सदगुणांचा अंगिकार करावाच लागतो.

editor@aksharnama.com

.............................................................................................................................................

Copyright www.aksharnama.com 2017. सदर लेख अथवा लेखातील कुठल्याही भागाचे छापील, इलेक्ट्रॉनिक माध्यमात परवानगीशिवाय पुनर्मुद्रण करण्यास सक्त मनाई आहे. याचे उल्लंघन करणाऱ्यांवर कायदेशीर कारवाई करण्यात येईल.